Sıra dışı çarklar
18, 25, 26, 31, 40, 49, 62, 73 ya da 105 cepli çarklar. Neredeyse hepsini tek bir kural fiyatlandırır: ödemelerin yok saydığı ceplerin payı.
Ödemeler kasa cepleri yokmuş gibi belirlendiğinde kasa avantajımatematikKasa avantajıHer bahis tutarından casinonun ortalama olarak alıkoyduğu pay: Avrupa ruletinde 2,70%.Tamamını oku →, çarkın büyüklüğü ne olursa olsun, kasa ceplerinin toplam cep sayısına bölümüdür. Sıra dışı çarkların çoğu bu kurala uyar. İlginç olanlar onu bozar: yuvarlanmış bir ödeme, bir bonus turu ya da birkaç çeviriş boyunca masada kalan bir bahis.
Her çark için tek kural
Avrupa ruletiçeşitAvrupa ruletiTek sıfırlı çark, 37 cep, kasa avantajı 2,70%. Bu sitedeki temel model.Tamamını oku →, çarkta 36 cepekipmanCepRotordaki 37 numaralı hazneden biri. Diğer adları: slot, cup.Tamamını oku → varmış gibi 35'e 1 öder. Çarkta 37 cep vardır ve eksik cep 2,70% kasa avantajıdır. Aynı kural her çarkta işler: N numara ve Z kasa cebi varken, n numaraya yapılan ve (N − n)/n'ye 1 ödeyen bir bahsin kasa avantajı Z/(N + Z)'dir. Her büyüklükte çark bu kurala göre yapılmış ya da önerilmiştir; tablo onları fiyat sırasına koyar.
Daha büyük, daha ucuz olabilir
Oyuncular 62 cepli bir çarkı daha uzak bir ihtimal olarak görür ve oyunun daha kötü olduğunu varsayar. Kasa avantajı yalnızca kasa ceplerinin payına bağlıdır. Super 62'de Amerikan çarkı gibi iki sıfırçarkSıfırYeşil renkli tek cep; hiçbir bire bir bahis, düzine ya da sütun bahsi onu kapsamaz. Kasa avantajının kaynağıdır. Diğer adları: tek sıfır, 0.Tamamını oku → vardır, ama bunlar 38 cebin 2'si değil 62 cebin 2'sidir; bu yüzden 5,26%'ya karşı 3,23% kasa avantajı taşır. 72 numaralı ve tek sıfırlı Roulette 73, yaklaşık Fransız ruletindeki bire bir bahisler kadar, 1,37% tutardı. Küçük bir çarkta kural ters yönde işler. Bollman 18 cepli antika bir çark düşünür: 1'den 16'ya kadar numaralar artı 0 ve 00. Kurala göre her bahis 2/18, yani 11,11% kaybettirirdi: iki kasa cebi küçük bir çarkın büyük bir payıdır.
Kuralın bozulduğu yer: yuvarlama
Bir ödemeparaÖdemeKazanan bir bahsin getirdiği tutar; iade edilen bahis tutarına ek olarak “X'e 1” biçiminde belirtilir.Tamamını oku → makul bir fişparaFişSabit bir tutarı temsil eden, bahis yapmak için bahis alanına konan marka. Diğer adı: check.Tamamını oku → tutarı olmalıdır ve kural kesirli bir sonuç verdiğinde casino aşağı yuvarlar. 100 To 1 Roulette'in Avenue bahsi 15 cebi kapsar ve 5⅔:1 ödemesi gerekir; 11'e 2 öder, bu da kasa avantajını 4,76%'dan 7,14%'e çıkarır. Super 62'de yedi numara 6 rakamını içerir (6, 16, 26, 36, 46, 56, 60) ve bu rakama yapılan bahis 7'ye 1 öder; bu da onu 9,68%, yani bahis alanınınekipmanBahis alanıMasadaki basılı bahis ızgarası. Diğer adları: masa, çuha, örtü.Tamamını oku → geri kalanının üç katı yapar. Riverboat Roulette'in beyaz bahsi 8 numarayı 7'ye 2 ödemeyle kapsar; 50 sentlik fişi olmayan bir masada $5'lık kazanan bahse $17,50 yerine $17 ödenir, bu da kasa avantajını 5,26%'dan 7,37%'ye çıkarır. 7,89% ile Amerikan beş numara bahsi, aynı şeyin bilinen örneğidir.
Kuralın bozulduğu yer: bonuslar
2020'de Marina Bay Sands'te tanıtılan Fast Action Roulette, dört sıfırlı gerçek bir çark kullanır; bu tek başına 10% kasa avantajı demektir. Her çevirişte rastgele on bonus numarası yanar. Bir düz bahisbahisDüz bahisTek bir numara, 35:1 öder.Tamamını oku → 35'e 1 öder; numarası bonus numarasıysa 40'a 1, dörtlü sırasının tamamı bonussa 80'e 1 öder ve bu onu 6,65%'e getirir. Oyunun diğer üç bahsi çok daha pahalıdır. IGT'nin Double Bonus Spin oyunu, Amerikan çarkına bir buçuk cep genişliğinde sarı bir bonus cebi ekler; topekipmanTopYol boyunca rotorun dönüş yönünün tersine fırlatılan küçük top. Modern toplar ivorin ya da teflondur, 18–21 mm.Tamamını oku → oraya düştüğünde her bahis iki bedava çeviriş kazanır. Bizim hesabımıza göre bu, kasa avantajını 1,94% (düz bahis) ile 2,73% (bire bir) arasına, sıradan Amerikan çarkının altına indirir. Bollman (2021) bu oyun için 3% ile 16% arası değerler verir; basitleştirilmiş formülünde bir cebir hatası vardır ve bire bir bahislerbahisBire bir bahisKırmızı/siyah, tek/çift, yüksek/düşük. 18 numara, 1:1 öder.Tamamını oku → için bedava çevirişlerin bahis tutarından fazlasını kaybettirdiği sonucunu verir, ki bu mümkün değildir.
Kuralın bozulduğu yer: masada kalan bahisler
Riverboat Roulette (2012), Amerikan çarkının 32 numarasına ikinci bir renk verdi. Beyaz, her sıfırın çevresindeki dört cebi işaretler (1, 2, 9, 10, 13, 14, 27, 28). Bir renk grubuna yapılan bahis, numaralarından biri sekiz beyaz numaradan biri gelmeden önce gelirse kazanır. Beyaz bir numara, bütün renk bahislerini silen bir “White Out” demektir. Diğer her numara beraberliktir: bahis masada kalır ve çevirişler arasında geri çekilebilir ya da artırılabilir. Camgöbeği üç numarayı kapsar ve 2'ye 1 öder. Sonuçlanan bahis başına bahis tutarının 2/11'ini, 18,18% kaybeder. Çeviriş başına 2/38'ini, bilinen 5,26%'yı kaybeder, çünkü ortalama bir bahis 38/11, yani yaklaşık 3,5 çeviriş masada kalır.
Thorp'un tahmin edebildiği bir çark: Big Six
Big Six ya da çarkıfelek (wheel of fortune), 54 bölmeli, büyük, dik duran bir çarktır: 24 bölme 1'e 1, 15 bölme 2'ye 1, yedisi 5'e 1, dördü 10'a 1, ikisi 20'ye 1 öder ve iki logo bölmesi 40'a 1 öder. Sıfır yoktur; kasa payını eksik ödeyerek alır ve kasa avantajı 1'e 1 ödeyen bölmelerde 11,1%'den logolarda 24,1%'e kadar çıkar. 1961'de Thorp bu çark için kibrit kutusu büyüklüğünde, ayak parmağıyla basılan bir anahtarla çalışan bir tahmin cihazı yaptı; 1981'de bir casino çarkının tek bir devrinin süresini kol saatiyle ölçerek durma noktasını genellikle beş bölme yakınlığında söyleyebildiğini gördü. Yalnızca tahmine yakın, yüksek ödemeli bölmelere bahis yapmak, bahisler çark çevrildikten sonra kabul edilseydi yaklaşık +211% getirirdi. Kabul edilmez; üstelik çark yavaş ve herkesin gözü önünde döner, bu yüzden geç bir bahis hemen göze batar. Thorp, oyunda geç bir bahsi gizleyecek kadar hareket olmadığını yazdı.
Neden bu kadar azı tutuyor
Profesyonel bir çark binlerce dolar tutar ve sıra dışı sayıda cebi olan bir çarkın sipariş üzerine yapılması gerekir. Bu yüzden yeni rulet oyunlarının çoğu standart çarkı koruyup bahis ekler; yan bahis sayfasının bu sayfadan uzun olmasının nedeni de budur. 19. yüzyıl Amerikası'nın 31 cepli kartallı çarkı, tek numarada 12,90%, diğer her şeyde 9,68% kasa avantajıyla kendi fiyatı yüzünden yok oldu. Üçüncü bir kasa cebi fikri 2016'da 39 cepli bir çarkta geri döndü; orada 7,69% kasa avantajı taşır.
Sorular
Tek başına değil. Kasa avantajı kasa ceplerinin payıdır: 73'te 1, 37'de 1'den ucuzdur.
1,37% ile Roulette 73, ama bu karşınıza çıkması muhtemel bir masa değil, yayımlanmış bir tasarımdır. Oyunculara gerçekten sunulmuş çarklar arasında Avrupa ve Fransız ruletinden sonra 3,23% ile Super 62 gelir.
Bir bonusun bedeli ödenmelidir; bu genellikle temel ödemede bir kesintiyle ya da yüksek kasa avantajlı ayrı bir bahisle yapılır.
Keyifli matematik
Önce kendiniz deneyin. Her çözüm katlanmış durumda; hazır olduğunuzda açın.
Avustralya'da geliştirilen Royal Roulette'te 50 cepekipmanCepRotordaki 37 numaralı hazneden biri. Diğer adları: slot, cup.Tamamını oku → vardır: 2'den papaza kadar 48 kart, artı bir as ve bir joker. Tek bir kart 47'ye 1, iki kart 23'e 1, üç kart 15'e 1, dört kart 11'e 1, altı kart 7'ye 1, sekiz kart 5'e 1, on iki kart 3'e 1, on altı kart 2'ye 1 ve yirmi dört kart 1'e 1 öder. Bu ödemeleriparaÖdemeKazanan bir bahsin getirdiği tutar; iade edilen bahis tutarına ek olarak “X'e 1” biçiminde belirtilir.Tamamını oku → hangi kural üretir ve her bahsin maliyeti nedir?
Çözümü göster
Cevap n karta yapılan her bahis (48 − n)/n'ye 1 öder; bu yüzden her bahsin maliyeti 2/50 = 4%'tür.
Kuralı birkaç bahiste deneyin: 47/1 = 47, 36/12 = 3, 32/16 = 2, 24/24 = 1. Dokuzuna da uyar. Kural çarkı 48 cepli gibi fiyatlandırır; bu yüzden as ve joker, Amerikan çarkındaki 0 ve 00 gibi, iki kasa cebidir.
50 cepten iki kasa cebi 4% kasa avantajı verir. “Avrupa” sürümü jokeri çıkarır ve ödemeleri korur: 49 cepte bir kasa cebi, 2,04% kasa avantajı.
Super 62'de, seçilen bir rakamın kazanan numarada bulunacağına yapılan bir bahis vardır. Aynı bahsi sıradan bir Amerikan çarkı için tasarlayın. 1'den 36'ya kadar numaraların kaçı her rakamı içerir ve hangi ödemeler olağan 5,26%'yı korur?
Çözümü göster
Cevap Yalnızca 3 ya da 4 numarada bulunan rakamlar temiz ödemeler alır (11'e 1 ve 8'e 1). 1, 2 ve 3 rakamları tam fişlerleparaFişSabit bir tutarı temsil eden, bahis yapmak için bahis alanına konan marka. Diğer adı: check.Tamamını oku → adil biçimde ödenemez.
Numaraları sayın. 1 rakamı 1'de, 10'dan 19'a kadar numaralarda, 21'de ve 31'de geçer: 13 numara. 2 rakamı da 13 numarada, 3 rakamı 10 numarada geçer. 4, 5 ve 6 rakamlarının her biri dört numarada (4, 14, 24, 34), 7, 8 ve 9'un her biri üç numarada geçer.
n numaraya yapılan bir bahis (36 − n)/n'ye 1 öderse Amerikan kasa avantajını korur. Bu, dört numara için 8'e 1, üç numara için 11'e 1 verir; ikisi de tam sayı. 13 numara için 23/13, yaklaşık 1,77'ye 1, 10 numara için 2,6'ya 1 verir. 1,77'yi 7'ye 4'e yuvarlayın, bahsin maliyeti 5,92% olur; 2'ye 1'e yuvarlayın, oyuncunun 2,63% avantajı olur. 2,6'yı 5'e 2'ye yuvarlamak 7,89% eder.
0 rakamı bir tercih meselesidir: yalnızca 10, 20 ve 30 alınırsa 5,26% ile 11'e 1 öder; 0 ve 00 eklenirse beş numaralı bir bahis olur, beşli bahisbahisİlk dört (basket)Tek sıfırlı çarkta: bir fişle 0, 1, 2, 3; 8:1 öder. Diğer adları: first four, quatre premiers.Tamamını oku → gibi 7,89% ile 6'ya 1.
rakamnumaralarkurala göreödenebilecekkasa avantajı1, 2131,77'ye 17'ye 45,92%3102,6'ya 15'e 27,89%4, 5, 648'e 18'e 15,26%7, 8, 9311'e 111'e 15,26%100 To 1 Roulette, 100 numara ve 5 kasa simgesi olan bir çarkta çoğu bahse (100 − n)/n'ye 1 öder. Bahisleri 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20 ya da 50 cebi kapsar ve sırasıyla 100, 49, 32, 24, 19, 9, 11'e 2, 4 ve 1'e 1 öder. Düz bahisbahisDüz bahisTek bir numara, 35:1 öder.Tamamını oku → ve 15 cepli Avenue kuralı bozar. Kuralı bozan başka hangi bahistir ve maliyeti nedir?
Çözümü göster
Cevap Üç cepli bahis: kurala göre 32⅓'e 1 ödemesi gerekir, 32'ye 1 öder ve 4,76% yerine 5,71% maliyet getirir.
Her ödemeyi kurala göre kontrol edin: 98/2 = 49, 96/4 = 24, 95/5 = 19, 90/10 = 9, 80/20 = 4 ve 50/50 = 1, hepsi uyar. Üç cep için kural 97/3 = 32⅓ verir; bunu hiçbir fiş ödeyemez, bu yüzden 32'ye aşağı yuvarlanır.
Bahis 105 çevirişte 3 kez kazanır ve o zaman bahis tutarı dahil 33 birimparaBirimBir sistemin ya da oyuncunun hesap yaptığı temel bahis tutarı. Progresyonlar her masada uygulanabilsin diye birim cinsinden anlatılır.Tamamını oku → geri verir: bahse konan her 105 birim için 3 × 33 = 99 birim geri döner, yani 6/105 = 5,71% kayıp.
Yayımlanmış bir tasarım olan Roulette 73'te 72 numara ve bir sıfırçarkSıfırYeşil renkli tek cep; hiçbir bire bir bahis, düzine ya da sütun bahsi onu kapsamaz. Kasa avantajının kaynağıdır. Diğer adları: tek sıfır, 0.Tamamını oku → vardır ve her bahis (72 − n)/n'ye 1 öder. 24 gri numarası 14 fişle kapsanabilir: 4 düz bahis ve 10 ikili bahisbahisİkili bahisBitişik iki numara, 17:1 öder.Tamamını oku →. Bu 14 fişlik bahsin maliyeti nedir?
Çözümü göster
Cevap 14 fişin 1,37%'si; o çarktaki diğer her bahis gibi.
Uzun yol: düz bahis 71'e 1, ikili bahis 35'e 1 öder. 4 düz bahis numarasından biri gelirse 71 kazanır ve diğer 13 fişi kaybedersiniz: +58. 20 ikili bahis numarasından biri gelirse: +35 − 13 = +22. Diğer 49 cepte 14 fişin hepsini kaybedersiniz. 73 çevirişte ortalama: 4 × 58 + 20 × 22 − 49 × 14 = 232 + 440 − 686 = −14 birim; bu, her fişin 1/73'üdür.
Kısa yol: beklenen değerlermatematikBeklenen değerUzun vadede bahis başına ortalama sonuç. Standart her Avrupa bahsi için bahis tutarının −1/37'si.Tamamını oku → toplanır. Her fiş, kendisinin 1/73'ünü kaybeden sıradan bir bahistir; bu yüzden 14 fiş 14/73 kaybeder. Bahisleri birleştirmek sonuçların nasıl dağıldığını değiştirir, maliyetlerini asla değiştirmez.
Super 62'de 60 numara, 0 ve 00 vardır ve (60 − n)/n'ye 1 öder. Tasarımcıları onu bir, üç ve dört kasa cebiyle de çizdi. Alphabetic Roulette 25 cepte (24 − n)/n'ye 1 öder ve Y ile Z'nin ayrı ceplerde olduğu bir çeşidi vardır. Beşini de fiyatlandırın.
Çözümü göster
Cevap Bir ile dört sıfırla: 1,64%, 3,23%, 4,76% ve 6,25%. Y ile Z'nin ayrı olduğu Alphabetic: 7,69%.
Bunların her biri ödemelerini korur ve yalnızca kasa ceplerinin sayısını değiştirir; bu yüzden kasa avantajı kasa cepleri ÷ bütün ceplerdir.
Bir sıfır, 61 cep: 1/61 = 1,64%. İki, 62 cep: 2/62 = 3,23%. Üç, 63 cep: 3/63 = 4,76%. Dört, 64 cep: 4/64 = 6,25%. Eklenen her sıfır yaklaşık bir buçuk puana mal olur.
Alphabetic 24 harf varmış gibi öder. Y ile Z bir cebi paylaşınca kasanın payı 25'te 1, yani 4%. Y ile Z ayrı olunca 26'da 2, yani 7,69%: üçlü sıfırlı bir çark kadar. Tek bir cebi ikiye bölmek fiyatı neredeyse ikiye katladı.
çarkcepkasa cebikasa avantajı60 numara, bir sıfır6111,64%Super 626223,23%60 numara, üç sıfır6334,76%Super 646446,25%Alphabetic2514,00%Alphabetic, Y ve Z ayrı2627,69%Antika bir çarkın 18 cebi vardır: 1'den 16'ya kadar, 0 ve 00. Tek numaralar ve 0 kırmızıbahisKırmızı18 kırmızı numaraya yapılan bire bir bahis. Fransızcası: rouge.Tamamını oku →, çift numaralar ve 00 siyahbahisSiyah18 siyah numaraya yapılan bire bir bahis. Fransızcası: noir.Tamamını oku →tır; 16 numara 4'e 4'lük bir bahis alanındaekipmanBahis alanıMasadaki basılı bahis ızgarası. Diğer adları: masa, çuha, örtü.Tamamını oku → durur. Her bahse aynı kasa avantajını veren bir ödeme tablosuparaÖdeme tablosuHer bahsin ya da sonucun ne ödediğini gösteren liste. Makinelerde ve yan bahislerde kasa avantajı burada belirlenir.Tamamını oku → tasarlayın. Ve 0 kırmızı olduğu hâlde kırmızı bahsini neden kaybettirmelidir?
Çözümü göster
Cevap (16 − n)/n'ye 1 ödeyin: bir numaraya 15'e 1, ikiye 7, dörde 3, sekize 1. Her bahsin maliyeti 11,11%. 0 kırmızı bahsini kazandırsaydı kırmızı adil bir bahis olurdu.
Çarkı 0 ve 00 yokmuş gibi fiyatlandırın. n numaraya yapılan bir bahis 18 seferde n kez kazanır ve (16 − n)/n'ye 1 öder; bu yüzden bahse konan her 18 için bahis tutarı dahil 16 birim geri verir. Her bahsin maliyeti 2/18, yani 11,11%.
Bahis alanının doğal bahisleri tam çıkar: bir numara 15'e 1, yan yana iki numara 7'ye 1, dörtlük bir sıra ya da sütunbahisSütunBahis alanının dikey bir sütunundaki on iki numara, 2:1 öder.Tamamını oku → 3'e 1, iki sıra ya da tek, çift, düşük veya yüksek sekiz numara 1'e 1. Üç numaralı bir bahis 4⅓'e 1 isterdi; ödemesi aşağı yuvarlanıp 4'e 1 yapılırsa maliyeti 16,67% olur.
Kırmızı sekiz tek numarayı kapsar. 0, kırmızı olduğu için kırmızı bahsini de kazandırsaydı kırmızı 18 cebin 9'unu 1'e 1 ile kapsardı: hiç avantajı olmayan adil bir oyunmatematikAdil oyunİki tarafın da avantajı olmadığı oyun: her bahsin beklenen değeri sıfırdır.Tamamını oku →. Kasa cepleri avantajlarını yalnızca kendilerine yapılan bahis dışındaki her bahsi kaybettirerek kazanır.
Biraz mizah
Önce kasa ceplerini sayın, sonra yuvarlamayı arayın.
Kaynaklar
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Thorp, E. O. “The invention of the first wearable computer.”