Uzun vadede yakınsama
Ortalamanın −2,70%'e nasıl yerleştiği ve bunun sezgilerin düşündüğünden neden daha uzun sürdüğü.
Çeviriş başına ortalama kayıp, çevirişler biriktikçe −1/37 değerine yakınsar; dağılım 1/√N gibi küçülür. 1.000 kırmızı çevirişten sonra ortalama genellikle beklenen değerine ±3% yakınlıktadır.
Büyük sayılar yasası
Bağımsız bahislerin hareketli ortalaması beklenen değerematematikBeklenen değerUzun vadede bahis başına ortalama sonuç. Standart her Avrupa bahsi için bahis tutarının −1/37'si.Tamamını oku → yönelir. Birer birimlikparaBirimBir sistemin ya da oyuncunun hesap yaptığı temel bahis tutarı. Progresyonlar her masada uygulanabilsin diye birim cinsinden anlatılır.Tamamını oku → N bire bir çevirişten sonra çeviriş başına ortalama sonucun beklentisi −1/37, standart sapmasımatematikStandart sapmaVaryansın karekökü; bir sonucun beklenen değere tipik uzaklığı.Tamamını oku → 1/√N olur. N = 100'de bu dağılım bahis tutarının 10%'udur; 2,7%'lik sinyalin neredeyse dört katı. N = 1.000'de 3,2%'dir, sinyalle hemen hemen aynı. N = 10.000'de 1%'dir ve avantaj açıkça görünür. Avantaj bir oturumda görünmez, bir yılda ise kuşku bırakmaz.
Ne yakınsar, ne yakınsamaz
Çeviriş başına ortalama yakınsar. Toplam yakınsamaz: N büyüdükçe beklentide N'nin yaklaşık 2,7%'si kadar sıfırdan uzaklaşır ve bunun etrafında √N'lik bir dağılım vardır. $10 bahisle 10.000 çeviriş oynamış bir oyuncunun $2.700 geride olması beklenir; sapma payı yaklaşık $1.000'dır. KırmızılarınbahisKırmızı18 kırmızı numaraya yapılan bire bir bahis. Fransızcası: rouge.Tamamını oku → birikimli oranı çoktan 48,65% civarına oturmuştur; birikimli bakiye hiçbir yere oturmamıştır.
- p10 −$440
- p25 −$280
- medyan −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Sezgi neden yanılır
İnsanlar avantajın hızla ortaya çıkmasını bekler, çünkü 2,70% çok gibi gelir; uzun serilerin “dengeleneceğini” de bekler, çünkü büyük sayılar yasasımatematikBüyük sayılar yasasıBağımsız sonuçların ortalaması, deneme sayısı arttıkça beklenen değere yakınsar.Tamamını oku → ortalamaların yakınsadığını söyler. İki sezgi de ölçeği yanlış değerlendirir: avantaj tek bir çevirişin varyansınamatematikVaryansSonuçların beklenen değer çevresinde ne kadar geniş dağıldığının ölçüsü. Düz bahiste yüksek, bire bir bahislerde düşüktür.Tamamını oku → göre küçüktür (σ = 1 birim, EV = 0,027), bu yüzden bir sigma görünür hâle gelmesi (1/0,027)² ≈ 1.400 çeviriş alır. Ortalamanın yakınsaması da toplamı geri çekmek için hiçbir şey yapmaz; yalnızca geçmiş dalgalanmaları seyreltir.
Diğer bahislerde yakınsama
Düz bahislerdebahisDüz bahisTek bir numara, 35:1 öder.Tamamını oku → σ = 5,84 olduğundan, aynı hesap avantajın bir sigmaya ulaşması için (5,84/0,027)² ≈ 47.000 çeviriş verir. Düz bahis yapan bir oyuncu, avantajı birkaç hafta içinde gören kırmızı oyuncuyla tamamen aynı 2,70%'i öderken, yıllarca kendi kayıtlarında avantajı şanstan ayırt edemeden oynayabilir.
Sistemleri test etmek için çıkarım
Bir sistemin işe yaradığını iddia eden herkes bunu, belgelenmiş pozitif bir ortalamayla 10.000 veya daha fazla çevirişte gösterebilmelidir. 1.000 çevirişte bire bir bahiste pozitif bir ortalama, sıfır hipotezi altında beşte bir olasılıklı bir olaydır; 100 çevirişte neredeyse yazı tura gibidir. Bu sitedeki simülatörler seçtiğiniz uzunlukta 2.000 oturumu bir saniyede çalıştırır; bu, herhangi bir tanıklıktan daha fazla kanıttır.
Formül
Sorular
Bir daha öne geçme olasılığımatematikOlasılıkBir sonucun ne kadar olası olduğunun ölçüsü; 0 ile 1 ya da 0% ile 100% arasında. Bir numara: 1/37 = 2,70%.Tamamını oku →, oynadıkça sıfıra doğru düşer. Toplam sınırsız biçimde aşağı kayar.
Hayır. Geçmiş dalgalanmaların daha büyük bir örneklemin daha küçük bir kesri hâline geldiği anlamına gelir.
Bire bir bahiste avantajın açıkça görünmesi için yaklaşık 10.000. Düz bahislerde yaklaşık 50.000.
Keyifli matematik
Önce kendiniz deneyin. Her çözüm katlanmış durumda; hazır olduğunuzda açın.
İki arkadaş, bir adil oyununmatematikAdil oyunİki tarafın da avantajı olmadığı oyun: her bahsin beklenen değeri sıfırdır.Tamamını oku → (yazı tura ya da sıfırlardaçarkSıfırYeşil renkli tek cep; hiçbir bire bir bahis, düzine ya da sütun bahsi onu kapsamaz. Kasa avantajının kaynağıdır. Diğer adları: tek sıfır, 0.Tamamını oku → bahsin iade edildiği bir kırmızıbahisKırmızı18 kırmızı numaraya yapılan bire bir bahis. Fransızcası: rouge.Tamamını oku →-siyahbahisSiyah18 siyah numaraya yapılan bire bir bahis. Fransızcası: noir.Tamamını oku → oyunu) 20 turunu oynuyor ve skoru sürekli tutuyor. Her birinin önde olduğu turları sayın (beraberlik, hemen öncesinde önde olan kişiye sayılır). Hangisi daha olasıdır: liderliğin 10 tura 10 paylaşılması mı, yoksa bir arkadaşın 20 turun hepsinde önde olması mı?
Çözümü göster
Cevap Bir arkadaşın 20 turun hepsinde önde olması çok daha olasıdır: iki arkadaştan herhangi biri sayılırsa 35,2%; eşit bir 10'a 10 için ise 6,1%.
Adil bir skorun 2k turdan sonra eşit olma olasılığı u = C(2k, k)/2²ᵏ'dir: 10 turdan sonra 0,246, 20 turdan sonra 0,176. Arksinüs yasası adlı klasik bir sonuç, adı belirlenmiş bir arkadaşın 2n turun tam 2k turunda önde olma olasılığının u(2k) × u(2n − 2k) olduğunu söyler.
20 turun hepsinde önde olmak: her arkadaş için u(20) × u(0) = 0,176, herhangi biri için 35,2%. Eşit bir paylaşım: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%; tüm paylaşımlar içinde en az olası olanı.
Yani adil bir oyunda liderlik nadiren el değiştirir. Bütün akşam önde ya da bütün akşam geride olan bir oyuncu olağandışı hiçbir şey görmemiştir ve bu, ne çark ne de beceri hakkında bir şey söyler. Epstein (2013) aynı yasayı daha uzun oyunlar için verir: zamanın yarısında talihli taraf oyunun 85%'inden fazlasında öndedir.
Biraz mizah
Ortalama yakınsar. Toplam ise yalnızca uzaklaşır.
Kaynaklar
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.