Problem: Masa limiti
$500 limitli bir masada $10'lık Martingale. Ne sıklıkla bozulur, bozulduğunda ne kadar kaybettirir ve limiti yükseltmek yardımcı olur mu?
Art arda altı kayıp onu bozar: döngü başına 1,8%, 100 çevirişlik oturumların yaklaşık 60%'ı. Bozulma $630'a mal olur. Limiti $5.000'a yükseltmek bozulmayı daha seyrek (döngü başına 0,25%) ve daha büyük ($5.110) yapar. Bahis yapılan dolar başına beklenen kayıp, her limitte 2,70% olur.
Problem
Bir oyuncu kırmızıyabahisKırmızı18 kırmızı numaraya yapılan bire bir bahis. Fransızcası: rouge.Tamamını oku → $10 bahis yapar, her kayıptan sonra ikiye katlar ve kazandıktan sonra başa döner. Masa azami limiti $500'dır. (a) ProgresyonustratejiProgresyonBahis tutarını önceki sonuçlara göre değiştiren her kural. Negatif progresyonlar onu kayıplardan sonra, pozitif progresyonlar kazançlardan sonra artırır.Tamamını oku → kaç art arda kayıp bozar? (b) Döngü başına olasılıkmatematikOlasılıkBir sonucun ne kadar olası olduğunun ölçüsü; 0 ile 1 ya da 0% ile 100% arasında. Bir numara: 1/37 = 2,70%.Tamamını oku → nedir? (c) Bozulmada ne kaybedilir? (d) $5.000 limit cevapları nasıl değiştirir? (e) Herhangi bir limit sistemi kârlı yapar mı?
(a)–(c) çözümleri
Bahis tutarları: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Yedincisi 640 > 500 olurdu; yani altı kayıp onu bozar. (b) Kırmızıda p(kayıp) = 19/37; (19/37)⁶ = 0,0183, yani döngü başına yaklaşık 1,8%. Bir döngü ortalama yaklaşık iki çeviriş sürer; bu yüzden 100 çevirişlik bir oturumda kabaca 50 döngü vardır ve p(en az bir bozulma) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630; bu, 63 temel birimdirparaBirimBir sistemin ya da oyuncunun hesap yaptığı temel bahis tutarı. Progresyonlar her masada uygulanabilsin diye birim cinsinden anlatılır.Tamamını oku →, oysa döngünün kazanmaya çalıştığı $10 idi.
(d) çözümü
$5.000'da: 2.560'a kadar bahis tutarlarına izin verilir; onuncu bahis tutarı, 5.120, reddedilir. Dokuz kayıp onu bozar: (19/37)⁹ ≈ döngü başına 0,25%, 100 çevirişlik oturumların yaklaşık 11%'i. Bozulmada kayıp: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. Oyuncu, daha seyrek bir felaketi daha büyük bir felaketin bedeliyle satın almıştır. Birçok oturumda bozulmaların beklenen maliyeti p × kayıp ≈ $500 limitte döngü başına 0,0183 × 630 = $11,5, $5.000 limitte 0,0025 × 5.110 = $12,8 olur; yuvarlama payı içinde aynı sayıdır ve kazanan döngülerin kazandırdığı $10 düşüldükten sonra döngünün beklenen kaybıdırmatematikBeklenen kayıpBeklenen değer çarpı toplam bahis tutarı; bir oturum ya da dönem boyunca ortalama olarak kaybedilen tutar.Tamamını oku →.
(e) çözümü
Hayır. Döngü başına beklenen kayıp = (döngüdeki beklenen toplam bahis tutarı) / 37, her limitte, çünkü her bahis kendi tutarına oranla −1/37 beklenen değer taşır. Limit yalnızca kaybın çok sayıda küçük kazanç ile az sayıda büyük kayıp arasında nasıl dağıldığını belirler. Limitsiz ve sonsuz oyun bütçesi (bankroll)paraOyun bütçesi (bankroll)Oyun için ayrılan toplam tutar. Oyun bütçesi yönetimi, bunun ne kadarının bahis başına ve oturum başına riske atılacağına karar vermektir.Tamamını oku → ile progresyon “işe yarardı”; yani hiç bozulmazdı ve aynı zamanda sınırsız bir tutarı bahse koyar, beklenen kaybı da o sınırsız tutarın 2,70%'i olurdu. Martingale sistemininstratejiMartingaleHer kayıptan sonra bahsi ikiye katlayan progresyon. Ne yaptığını ve ne yapmadığını görmek için Strateji bölümüne bakın.Tamamını oku → işe yaramasını engelleyen şey masa limitimasaMasa limitiİzin verilen asgari ve azami bahis. Katlamalı progresyonları durduran, azami bahistir.Tamamını oku → değildir. Aritmetiktir.
İki gerçek masa
Thorp'un örneği, azami bahsi $1.000 olan $1'lık bir masadır; oyuncu burada akşam yemeği için birer dolarla $30 kazanmayı umar. 1, 2, 4 … 512 bahis tutarları on bahse izin verir, bu yüzden art arda on kayıp progresyonu bozar: Avrupa çarkında 785 döngüde bir (Amerikan çarkında 613 döngüde bir), $1.023 kayıpla. Otuz döngünün hepsi zamanın 96,2%'sinde başarılı olur. Geri kalan 3,8%'de yaklaşık $1.000 kaybedilir ve akşamın ortalama sonucu −$9,17 olur; bu, otuz döngünün ortalama olarak bahse koyduğu $339'ın tam 1/37'sidir. Azami bahsi $2.000 olan $5'lık bir masa da farklı değildir: $1.280'a kadar bahis tutarları dokuz bahse izin verir, bozulma Avrupa çarkında 403 döngüde bir (Amerikan çarkında 323 döngüde bir) gelir ve $2.555'a mal olur.
Zengin bir oyuncu
Progresyona düşük bir limit yerine derin bir oyun bütçesi verin: 1.000 birim, bir birimlik temel bahis ve kırmızıya 1.000 çeviriş; bir sonraki ikiye katlama kalan tutardan fazla olduğunda her seferinde bir birimden yeniden başlanır. Böyle bir milyon akşamı simüle ettik. Avrupa çarkında akşamların 52%'si önde biter, 21%'i her şeyi kaybeder ve ortalama sonuç −124 birim olur. SıfırınçarkSıfırYeşil renkli tek cep; hiçbir bire bir bahis, düzine ya da sütun bahsi onu kapsamaz. Kasa avantajının kaynağıdır. Diğer adları: tek sıfır, 0.Tamamını oku → olmadığı, her bahsin adil olduğu bir oyunda bile yalnızca yaklaşık 60%'ı önde biterdi. Olağan akşam küçük bir kazançla biter; ortalamanın bedelini sıfırda biten akşamlar öder.
Ders
Casinolar limitleri sistemleri yenmek için değil, kendi varyanslarınımatematikVaryansSonuçların beklenen değer çevresinde ne kadar geniş dağıldığının ölçüsü. Düz bahiste yüksek, bire bir bahislerde düşüktür.Tamamını oku → sınırlamak için koyar. Martingale sistemini yenmek, memnuniyetle karşıladıkları bir yan etkidir ve aritmetik onu zaten yenerdi. Sorunun limit olduğunu düşünen oyuncu uçurumu bulmuş ve onu yamaçla karıştırmıştır.
Formül
Sorular
Daha yüksek bir limite kadar hayatta kalmanızı sağlar; orada bozulma daha seyrek ve daha büyüktür. Dolar başına beklenen kayıp değişmez.
Bahis tutarları 10, 30, 70, 150, 310: $500 limite beş kayıptan sonra ulaşılır ve bozulma $570'a mal olur. Aynı 2,70%.
Tek bir oyuncunun casinonun rezervinin rahatça ödeyebileceğinden fazla bahis yapamaması için. Varyans yönetimi.
Keyifli matematik
Önce kendiniz deneyin. Her çözüm katlanmış durumda; hazır olduğunuzda açın.
Bir Martingale sistemistratejiMartingaleHer kayıptan sonra bahsi ikiye katlayan progresyon. Ne yaptığını ve ne yapmadığını görmek için Strateji bölümüne bakın.Tamamını oku → kırmızıyabahisKırmızı18 kırmızı numaraya yapılan bire bir bahis. Fransızcası: rouge.Tamamını oku → $100 ile başlar ve kendine döngü başına en fazla n bahis izni verir: art arda n kayıptan sonra pes eder ve yeniden başlar. Bir döngünün ortalama sonucunu n cinsinden bir formül olarak yazın ve Avrupa çarkında 5, 6 ve 7 bahis için hesaplayın.
Çözümü göster
Cevap Ortalama 100 × (1 − (38/37)ⁿ) olur: 5 bahis için −$14,26, 6 için −$17,35 ve 7 için −$20,52. Daha fazla bahse izin vermek ortalama döngüyü iyileştirmez, kötüleştirir.
Bir döngü, n bahsin hepsi kaybetmedikçe $100 kazanır; hepsinin kaybetmesi, q = 19/37 olmak üzere qⁿ olasılıkla olur. Hepsi kaybettiğinde 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ bahis tutarlarının toplamı 100 × (2ⁿ − 1) olur. Dolayısıyla ortalama 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ) olur.
Burada 2q = 38/37, yani 1'den biraz fazla; bu yüzden (2q)ⁿ n ile büyür ve ortalama düşer: n = 5 için 1,1426 ve −$14,26; n = 6 için 1,1735 ve −$17,35; n = 7 için 1,2052 ve −$20,52. Daha uzun bir merdiven daha seyrek kaybeder, döngülerin 3,6%'sında, 1,8%'inde ve 0,9%'unda, ama her kayıp iki kat büyüktür ve her döngüde masadan daha çok para geçer, her bahsin 2,70%'i oranında.
Amerikan çarkında 2q = 40/38'dir ve rakamlar şöyledir: −$29,24, −$36,04 ve −$43,20 (Taylor, 2021). SıfırıçarkSıfırYeşil renkli tek cep; hiçbir bire bir bahis, düzine ya da sütun bahsi onu kapsamaz. Kasa avantajının kaynağıdır. Diğer adları: tek sıfır, 0.Tamamını oku → olmayan bir oyunda 2q = 1'dir ve merdiven ne kadar uzun olursa olsun her döngünün ortalaması tam olarak sıfırdır.
“Büyük Martingale” (grand Martingale) kayıptan sonra bahis tutarını ikiye katlar ve bir birimparaBirimBir sistemin ya da oyuncunun hesap yaptığı temel bahis tutarı. Progresyonlar her masada uygulanabilsin diye birim cinsinden anlatılır.Tamamını oku → ekler; böylece bahis tutarları 1, 3, 7, 15, 31 … diye gider. İlk kazanç 1., 2., 3. ya da k. bahiste gelirse ne kadar öndesiniz? $10 birim ve $500 azami bahisle bir döngü ne sıklıkla kırılır ve bir döngü ortalama neye mal olur?
Çözümü göster
Cevap k. bahisteki bir kazanç sizi k birim öne geçirir: +1, +2, +3 ve böyle devam eder. $10 ve $500'da döngü beş kayıptan sonra kırılır; döngülerin 3,57%'si, −$570. Ortalama olarak bir döngü, bahse konan $85,73'ın $2,32'ını kaybeder: 2,70%.
k. bahis tutarı 2ᵏ − 1 birimdir: 1, 3, 7, 15, 31. İlk k − 1 bahis tutarının toplamı 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1'dir. k. bahisteki bir kazanç 2ᵏ − 1 öder, dolayısıyla döngü (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k birim önde biter: kazançtan önceki her kayıp için bir fazladan birim.
Birim $10 olunca bahis tutarları $10, $30, $70, $150 ve $310'dır; sonraki $630, $500'lık azami bahsin üzerindedir. Art arda beş kayıp, (19/37)⁵ = 3,57%, 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570'a mal olur.
Ortalama: k = 1'den 5'e kadar kazançlar (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 olasılıkla $10 × k getirir, kırılma da 3,57% olasılıkla $570 götürür; birlikte −$2,32. Döngü başına bahse konan para ortalama $85,73'dır ve 2,32/85,73 = 2,70%. Aynı masadaki sıradan Martingale altı kayıptan sonra kırılır, döngülerin 1,83%'ü, −$630; bahse konan $64,20'ın $1,74'ını kaybeder: yine 2,70%.
Bir oyuncu, limiti $1.000 olan bir masada ilk bahsi $1 olan bir Martingale sistemiyle kırmızıya oynamayı planlıyor; böylece on bahis mümkün: $1, $2, $4 ve bu şekilde $512'a kadar. Bir döngü ne sıklıkla on bahsin hepsini kaybeder, buna ortalama ne kadar sürede varılır ve 200 bahislik bir akşam ne sıklıkla böyle biter?
Çözümü göster
Cevap Bir döngü yaklaşık 784'te bir kez on bahsin hepsini kaybeder ve bunun bedeli $1.023'dır. Bu ortalama yaklaşık 1.600 bahis demektir; 200 bahislik bir akşam ise yaklaşık 11% olasılıkla duvara çarpar. Bir döngü yine de yatırılan $11,31'den ortalama $0,31 kaybeder: 2,70%.
Kırmızıya yapılan bahis, sıfır dahil, 19/37 olasılıkla kaybeder. Art arda on: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, yaklaşık 784'te 1. 1 + 2 + 4 + … + 512 bahis tutarlarının toplamı $1.023'dır.
Bir döngü ortalama 2,05 bahis sürer, dolayısıyla 784 döngü yaklaşık 1.600 bahis eder. Çeviriş çeviriş sayıldığında, 200 bahsin içinde bir yerde on kayıplık bir seri 11,3% olasılıkla ortaya çıkar.
Felaketler arasında oyuncu döngü başına $1 kazanır: kötü döngüden önce yaklaşık $783, ardından −$1.023, tüm dönem boyunca yaklaşık −$240. Döngü başına: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Döngü başına yatırılan para: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Ve −0,31/11,31 = −2,70%.
$500 limitte $10'lık ilk bahisle, yani altı bahisle karşılaştırın: duvar 55 döngüde bir gelir ve 200 bahislik bir akşam 84% olasılıkla ona çarpar. Daha yüksek bir limit çöküşü daha seyrek ve daha büyük yapar, daha ucuz değil.
Biraz mizah
Her limitte daha seyrek ve daha büyük. Çarpım sabittir.
Kaynaklar
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.