Problem: Doğum günü çarkı
Bir numaranın tekrar etmesi için kaç çeviriş gerekir? Çoğu insanın tahmin ettiğinden çok daha az.
37 cepliekipmanCepRotordaki 37 numaralı hazneden biri. Diğer adları: slot, cup.Tamamını oku → bir çarkta doğum günü problemi: yalnızca 8 çevirişten sonra bir numaranın zaten iki kez gelmiş olma olasılığı yarıdan fazladır. Oyuncular tekrarları örüntü olarak okur; oysa bunlar adil bir çarkın beklenen davranışıdır.
Problem
Adil bir Avrupa çarkını çevirin. En az iki çevirişin aynı numarayı göstermesi olasılığımatematikOlasılıkBir sonucun ne kadar olası olduğunun ölçüsü; 0 ile 1 ya da 0% ile 100% arasında. Bir numara: 1/37 = 2,70%.Tamamını oku → yarıyı aşana kadar kaç çeviriş gerekir? Çoğu oyuncu 37'nin yarısı olan 18 ya da 19 civarında bir şey tahmin eder. Cevap 8'dir.
Çözüm
Tekrar olmama olasılığını hesaplayıp birden çıkarın. k çevirişten sonra p(hepsi farklı) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). k = 8 için: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44; dolayısıyla p(bir tekrar) ≈ 0,56. k = 14 için 0,93; k = 20 için 0,996. Sezgi yanılır, çünkü çeviriş çiftlerinin sayısı k² gibi büyür ve her çift eşleşebilir.
Masada neden önemlidir
Son 20 numaranın sonuç panosu neredeyse her zaman en az bir tekrar, çoğu kez iki ya da üç tekrar gösterir. Oyuncular “17 on çevirişte iki kez geldi” görür ve 17'nin sıcak olduğu sonucuna varır; doğum günü aritmetiği, on çeviriş içinde bir tekrarın zamanın 74%'ünde gerçekleştiğini ve tekrarlanan numaranın rastgele olduğunu söyler. Örüntü gerçektir; anlamı değil.
Devam problemi
Belirli bir numaranın, diyelim 17'nin, iki kez gelmesi için kaç çeviriş gerekir? Bu, çok daha büyük bir cevabı olan farklı bir sorudur: beklenen bekleme 74 çeviriştir ve 20 çeviriş içinde iki 17 gelme olasılığı yaklaşık 10%'dur. “Bir numara tekrar eder” (8 çeviriş) ile “bu numara tekrar eder” (74 çeviriş) arasındaki fark, sonradan fark ettiğiniz bir örüntü ile önceden yaptığınız bir tahmin arasındaki farkın tamamıdır.
Deneyin
Demo oyunu on çeviriş çalıştırın ve geçmişe bakın. Genellikle bir tekrar olacaktır. Tekrar çalıştırın. Tekrarlanan numara farklı olacaktır. Bunu on kez yaparsanız doğum günü probleminimatematikDoğum günü problemiİki kişinin büyük olasılıkla aynı doğum gününü paylaşması için kaç kişi gerektiği ya da bir numaranın büyük olasılıkla tekrar gelmesi için kaç çeviriş gerektiği sorusu. 37 cepli bir çarkta, olasılığın yarıyı geçmesi için 8 çeviriş yeter.Tamamını oku → görmüş olursunuz; bin kez yaparsanız (simülatörler yapabilir) onu ölçmüş olursunuz.
Formül
Sorular
Tam olarak, 365 gün yerine 37 cep ile. Doğum günlerinde 23 kişi 50% verir; çarkta 8 çeviriş 56% verir.
Yaklaşık 19 çevirişten sonra 50%. Yine de olağan.
Hayır. Tek bir çarktan binlerce çeviriş eder; bir tekrar asla etmez.
Keyifli matematik
Önce kendiniz deneyin. Her çözüm katlanmış durumda; hazır olduğunuzda açın.
Bir Amerikan çarkının yanındaki sonuç panosu son 16 çevirişi gösteriyor. Panoda hiçbir numaranın iki kez görünmemesinin olasılığı nedir?
Çözümü göster
Cevap Yaklaşık 2,5%: kabaca her 40 panodan 39'unda en az bir tekrar vardır.
Çeviriş çeviriş ilerleyin. İlk çeviriş herhangi bir şey olabilir. İkincisi onu ıskalamalıdır: 38'de 37 olasılık. Üçüncüsü ikisini de ıskalamalıdır: 38'de 36. On altıncısı on beş numarayı ıskalamalıdır: 38'de 23.
Çarpın: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Nadir olan, tekrarsız panodur. Tekrar içeren bir pano çark hakkında hiçbir şey söylemez.
Bir Avrupa çarkında on çevirişte 17'nin tam beş kez gelme olasılığı nedir? Herhangi bir numaranın beş ya da daha fazla kez gelme olasılığı? Ve dört çevirişte bir numaranın en az üç kez gelme olasılığı?
Çözümü göster
Cevap 17'nin tam beş kez gelmesi: 315.576'da 1. Herhangi bir numaranın beş ya da daha fazla kez gelmesi: yaklaşık 8.333'te 1. Dört çevirişte bir numaranın üç ya da daha fazla kez gelmesi: 349'da 1.
17'nin beş kez gelmesi: on çevirişten hangi beşi olduğunu seçin, 252 yol, her biri (1/37)⁵ × (36/37)⁵ olasılıkla. Toplam 315.576'da 1.
Herhangi bir numara: 37 numaranın her birinin beş ya da daha fazla isabet olasılığı 308.325'te 1'dir, bu da 308.325'te 37, yani 8.333'te 1 eder. İki numaranın beşer isabet aldığı nadir durum iki kez sayılır, ama onu çıkarmak bu hassasiyette hiçbir şeyi değiştirmez.
Dört çevirişte üç kez: tek bir numara için 37⁴ olası sonucun 4 × 36 + 1 = 145'i; 37 numaranın herhangi biri için 145/37³ = 349'da 1.
Wizard of Odds bu soruların çift sıfırlıçarkSıfırYeşil renkli tek cep; hiçbir bire bir bahis, düzine ya da sütun bahsi onu kapsamaz. Kasa avantajının kaynağıdır. Diğer adları: tek sıfır, 0.Tamamını oku → çark sürümlerini cevapladı; bizim o çark için bulduğumuz sayılar 359.275'te 1, 9.243'te 1 ve 368'de 1. “17” ile “herhangi bir numara” arasındaki fark yine doğum günü problemidirmatematikDoğum günü problemiİki kişinin büyük olasılıkla aynı doğum gününü paylaşması için kaç kişi gerektiği ya da bir numaranın büyük olasılıkla tekrar gelmesi için kaç çeviriş gerektiği sorusu. 37 cepli bir çarkta, olasılığın yarıyı geçmesi için 8 çeviriş yeter.Tamamını oku →: şaşırmanın 37 yolu var.
Biraz mizah
Bir şey erken tekrar eder. O şey rastgeledir.
Kaynaklar
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, roulette questions.